設(shè)函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點,求滿足條件的最小正整數(shù)a的值;

(3)若方程f(x)c有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2求證:f>0.

 

1單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為233)見解析

【解析】(1)【解析】
f(x)2x(a2) (x>0)

當(dāng)a≤0,f(x)>0函數(shù)f(x)(0,∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,∞)

當(dāng)a>0,f(x)>0,x> ;由f(x)<0,0<x< .

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為.

(2)【解析】
(1),若函數(shù)f(x)有兩個零點,a>0,f(x)的最小值f <0,即-a24a4aln <0.因為a>0,所以a4ln4>0.

h(a)a4ln4顯然h(a)(0,∞)上為增函數(shù),h(2)=-2<0,h(3)4ln 1ln1>0,所以存在a0(23),h(a0)0.

當(dāng)a>a0,h(a)>0;當(dāng)0<a<a0,h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數(shù)a3.

又當(dāng)a3,f(3)3(2ln3)>0f(1)0,所以a3,f(x)有兩個零點.

綜上所述滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3.

(3)證明:因為x1、x2是方程f(x)c的兩個不等實根,(1)a>0.

不妨設(shè)0<x1<x2,(a2)x1alnx1c,(a2)x2alnx2c.

兩式相減得(a2)x1alnx1(a2)·x2alnx20,

2x12x2ax1alnx1ax2alnx2a(x1lnx1x2lnx2)

所以a.

因為f0,當(dāng)x∈,f(x)<0,當(dāng)x∈,f(x)>0,

故只要證> 即可,即證明x1x2> ,

即證明(x1x2)(lnx1lnx2)< 2x12x2,

即證明ln <.設(shè)t (0<t<1)

g(t)lntg(t).

因為t>0,所以g(t)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t1g(t)0,

所以g(t)(0∞)上是增函數(shù).

g(1)0,所以當(dāng)t∈(01),g(t)<0總成立.所以原題得證.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.

(1) f(x)的值域是[0,∞),a的值;

(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,求g(a)2a|a1|的值域.

 

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已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù),對于x∈R都有f(x6)f(x)f(3)成立.當(dāng)x1、x2[0,3],x1x2,都有>0給出下列命題:

f(3)0;

直線x=-6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對稱軸;

函數(shù)yf(x)[96]上為單調(diào)增函數(shù);

函數(shù)yf(x)[99]上有4個零點.

其中正確的命題是________(填序號)

 

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我國遼東半島普蘭附近的泥炭層中,發(fā)掘出的古蓮子,至今大部分還能發(fā)芽開花,這些古蓮子是多少年以前的遺物呢?要測定古物的年代,可用放射性碳法.在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性14C,動植物死亡后,停止了新陳代謝,14C不再產(chǎn)生,且原有的14C會自動衰變經(jīng)過5570(叫做14C的半衰期),它的殘余量只有原始量的一半,經(jīng)過科學(xué)家測定知道14C的原始含量為a,則經(jīng)過t年后的殘余量a(a之間滿足aa·ekt).現(xiàn)測得出土的古蓮子中14C殘余量占原量的87.9%試推算古蓮子的生活年代.

 

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(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)m1280米時,需要新建多少個橋墩才能使y最?

 

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cosxcosysinxsiny,sin2xsin2y,sin(xy)________

 

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