Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸交于點D，且有|FA|=|FD|，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為3時，△ADF為正三角形
（1）求C的方程
（2）延長AF交拋物線于點E，過點E作拋物線的切線l1 ， 求證：l1∥l．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線的焦點F（ ，0），設(shè)D（t，0），則FD的中點為（ ，0）．

∵|FA|=|FD|，∴3+ =|t﹣ |，解得t=3+p或t=﹣3（舍）．

∵ =3，∴ ，解得p=2．

∴拋物線方程為y2=4x

（2）解：由（1）知F（1，0），設(shè)A（ ，m）（m≠0），D（xD，0），

∵|FA|=|FD|，則|xD﹣1|= +1，由xD＞0得xD= +2，即D（ +2，0）．

∴直線l的斜率為kAD=﹣ ．

設(shè)l1：y=kx+n（k≠0）與拋物線相切，代入可得ky2﹣4y+4n=0，△=0，所以E（ ， ），

∵A，F(xiàn)，E三點共線，∴m（ ﹣1）= ，

解得k= 或k=﹣ ．

k= ，E與A重合，舍去，

∴k=﹣ ，

∴l(xiāng)1∥l．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知A點橫坐標(biāo)為FD的中點橫坐標(biāo)，列出方程解出p．（2）根據(jù)|FA|=|FD|列出方程得出A，D橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得出l的斜率，設(shè)l1方程，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式△=0得出l的截距與A點坐標(biāo)的關(guān)系，求出E點坐標(biāo)，利用A，F(xiàn)，E三點共線，即可證明結(jié)論．