【題目】已知函數(shù)
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若關(guān)于的方程有三個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)12x﹣y﹣17=0(2)(﹣3,﹣2)
【解析】
(1)將x=2分別代入原函數(shù)解析式和導(dǎo)函數(shù)解析式,求出切點坐標和切線斜率,由點斜式可得曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+m=0有三個不同的實根,則﹣m值在函數(shù)兩個極值之間,利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的兩個極值,可得答案.
解:(1)當(dāng)x=2時,f(2)=7
故切點坐標為(2,7)
又∵f′(x)=6x2﹣6x.
∴f′(2)=12
即切線的斜率k=12
故曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y﹣7=12(x﹣2)
即12x﹣y﹣17=0
(2)令f′(x)=6x2﹣6x=0,解得x=0或x=1
當(dāng)x<0,或x>1時,f′(x)>0,此時函數(shù)為增函數(shù),
當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,此時函數(shù)為減函數(shù),
故當(dāng)x=0時,函數(shù)f(x)取極大值3,
當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取極小值2,
若關(guān)于x的方程f(x)+m=0有三個不同的實根,則2<﹣m<3,即﹣3<m<﹣2
故實數(shù)m的取值范圍為(﹣3,﹣2)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),關(guān)于的不等式的解集為.
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)設(shè).
(i)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(ii)若函數(shù)有三個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍(為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校為了對2018年錄取的大一理工科新生有針對性地進行教學(xué),從大一理工科新生中隨機抽取40名,對他們2018年高考的數(shù)學(xué)分數(shù)進行分析,研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學(xué)分數(shù)在內(nèi),且其頻率滿足(其中,).
(1)求的值;
(2)請畫出這20名新生高考數(shù)學(xué)分數(shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分數(shù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生,記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學(xué)分數(shù)不低于130分”的人數(shù)為隨機變量,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)設(shè)個正數(shù)滿足(且).
(1)當(dāng)時,證明:;
(2)當(dāng)時,不等式也成立,請你將其推廣到(且)個正數(shù)的情形,歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),).給你四個函數(shù):①;②;③;④.
(1)當(dāng)時,求不等式的解集;
(2)求函數(shù)的最小值;
(3)在給你的四個函數(shù)中,請選擇一個函數(shù)(不需寫出選擇過程和理由),該函數(shù)記為,滿足條件:存在實數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式的解集為,其中常數(shù)s,,且.對選擇的和任意,不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左,右焦點分別為, ,離心率為, 是橢圓上的動點,當(dāng)時, 的面積為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過點的直線交橢圓于, 兩點,求面積的最大值.
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