Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）把恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立。設(shè)函數(shù)， 求導(dǎo)求函數(shù)的最小值，只需。（2）， 轉(zhuǎn)化為g(x)的導(dǎo)函數(shù)在有奇次根。，令

，則．由，得．結(jié)合函數(shù)圖象可知， 在上存在極值，分或兩種情況討論。

試題解析：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

設(shè)函數(shù)， ．

則．

設(shè)．

則．易知當(dāng)時(shí)， ．

∴在上單調(diào)遞增，且．

即對(duì)恒成立．

∴在上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

設(shè)，則．

由，得．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

且， ， ．

顯然．

結(jié)合函數(shù)圖象可知，若在上存在極值，

則或．

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得，且．

當(dāng)變化時(shí)， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值為，且．

∵ ．

設(shè)，其中， ．

∵，∴在上單調(diào)遞增， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

∵，∴．

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值．

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得．

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

此時(shí)， 在上的極大值是，且．

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值為正數(shù)．

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上存在極值，且極值都為正數(shù)．