Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

1

2x+1

+a為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0對任意的實(shí)數(shù)t恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)定義f（x）=-f（x）中的特殊值求a的值；
（2）按按取點(diǎn)，作差，變形，判斷的過程來即可．
（3）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為R，所以f（x）=0，
即

1

20+1

+a=0?a=-

1

2

（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，故 2x₂-2x₁＞0，2x₁+1＞0，2x₂+1＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．