【題目】已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin ),函數(shù)f(x)= ﹣m| + |+1,x∈[﹣ , ],m∈R.
(1)當m=0時,求f( )的值;
(2)若f(x)的最小值為﹣1,求實數(shù)m的值;
(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)+ m2 , x∈[﹣ , ]有四個不同的零點?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解: =(cos ,sin )(cos ,﹣sin )=cos cos ﹣sin sin =cos( + )=cos2x,
當m=0時,f(x)= +1=cos2x+1,
則f( )=cos(2× )+1=cos +1=
(2)解:∵x∈[﹣ , ],
∴| + |= = =2cosx,
則f(x)= ﹣m| + |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx,
令t=cosx,則 ≤t≤1,
則y=2t2﹣2mt,對稱軸t= ,
① 當 < ,即m<1時,
當t= 時,函數(shù)取得最小值此時最小值y= ﹣m=﹣1,得m= (舍),
②當 ≤ ≤1,即m<1時,
當t= 時,函數(shù)取得最小值此時最小值y=﹣ =﹣1,得m= ,
③當 >1,即m>2時,
當t=1時,函數(shù)取得最小值此時最小值y=2﹣2m=﹣1,得m= (舍),
綜上若f(x)的最小值為﹣1,則實數(shù)m=
(3)解:令g(x)=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0,得cosx= 或 ,
∴方程cosx= 或 在x∈[﹣ , ]上有四個不同的實根,
則 ,得 ,則 ≤m< ,
即實數(shù)m的取值范圍是 ≤m<
【解析】(1)利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)f(x)即可.(2)求出函數(shù)f(x)的表達式,利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行討論求解即可.(3)由g(x)=0得到方程的根,利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】蘭州一中在世界讀書日期間開展了“書香校園”系列讀書教育活動。為了解本校學生課外閱讀情況,學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均課外閱讀時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,且將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”,低于60分鐘的學生稱為“非讀書迷”。
非讀書迷 | 讀書迷 | 合計 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 |
(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關(guān)?
(2)利用分層抽樣從這100名學生的“讀書迷”中抽取8名進行集訓,從中選派2名參加蘭州市讀書知識比賽,求至少有一名男生參加比賽的概率。
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓: 過橢圓: ()的短軸端點, , 分別是圓與橢圓上任意兩點,且線段長度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點作圓的一條切線交橢圓于, 兩點,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的五面體中,面為直角梯形, ,平面 平面, ,△ADE是邊長為2的正三角形.
(1)證明: 平面;
(2)求點B到平面ACF的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點.
(1)求證:FH∥平面EDB;
(2)求證:AC⊥平面EDB;
(3)解:求二面角B﹣DE﹣C的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=﹣ x3+ x2+2ax.
(1)若f(x)在( ,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為﹣ ,求f(x)在該區(qū)間的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)═log2( +a).
(1)若f(1)<2,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5],討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知圓,橢圓, 為橢圓的右頂點,過原點且異于軸的直線與橢圓交于兩點, 在軸的上方,直線與圓的另一交點為,直線與圓的另一交點為,
(1)若,求直線的斜率;
(2)設(shè)與的面積分別為,求的最大值.
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