【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點(diǎn).
(1)求證:FH∥平面EDB;
(2)求證:AC⊥平面EDB;
(3)解:求二面角B﹣DE﹣C的大。
【答案】
(1)證明:設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn),連接EG,GH,又H為BC的中點(diǎn),
∴GH∥AB且GH= AB,又EF∥AB且EF= AB,∴EF∥GH且EF=GH,
∴四邊形EFHG為平行四邊形
∴EG∥FH,而EG平面EDB,∴FH∥平面EDB
(2)證明:由四邊形ABCD為正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,∴EF⊥BC
而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,
又BF=FC,H為BC的中點(diǎn),∴FH⊥BC
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥BC,F(xiàn)H⊥AC,
又FH∥EG,∴AC⊥EG
又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴AC⊥平面EDB
(3)EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
在平面CDEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作FK⊥DE交DE的延長(zhǎng)線與k,則
∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個(gè)平面角,
設(shè)EF=1,則AB=2,F(xiàn)C= ,DE= ,
又EF∥DC,∴∠KEF=∠EDC,
∴sin∠EDC=sin∠KEF= ,
∴FK=EFsin∠KEF= ,
tan∠FKB= = ,
∴∠FKB=60°,
∴二面角B﹣DE﹣C為60°.
【解析】(1)設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn),連接EG,GH,又H為BC的中點(diǎn),可得四邊形EFHG為平行四邊形,然后利用直線與平面平行判斷定理進(jìn)行證明;(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,可得EF⊥BC,要證FH⊥平面ABCD,F(xiàn)H⊥平面ABCD,從而求解.(3)在平面CDEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)F作FK⊥DE交DE的延長(zhǎng)線與k,可知∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個(gè)平面角,然后設(shè)EF=1,在直角三角形中進(jìn)行求證.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解該校學(xué)生對(duì)于某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的愛(ài)好是否與性別有關(guān),通過(guò)隨機(jī)抽查110名學(xué)生,得到如下的列聯(lián)表:
喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng) | 不喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng) | 總計(jì) | |
男 | 40 | 20 | 60 |
女 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
由公式,算得
附表:
0.025 | 0.01 | 0.005 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 |
參照附表,以下結(jié)論正確的是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)語(yǔ)的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,連結(jié)棱長(zhǎng)為2cm的正方體各面的中心得一個(gè)多面體容器,從頂點(diǎn)A處向該容器內(nèi)注水,注滿為止.已知頂點(diǎn)B到水面的高度h以每秒1cm勻速上升,記該容器內(nèi)水的體積V(cm3)與時(shí)間T(S)的函數(shù)關(guān)系是V(t),則函數(shù)V(t)的導(dǎo)函數(shù)y=V′(t)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合題。
(1)已知 在區(qū)間(m2﹣4m,2m﹣2)上能取得最大值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),若 ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在上恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin ),函數(shù)f(x)= ﹣m| + |+1,x∈[﹣ , ],m∈R.
(1)當(dāng)m=0時(shí),求f( )的值;
(2)若f(x)的最小值為﹣1,求實(shí)數(shù)m的值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)+ m2 , x∈[﹣ , ]有四個(gè)不同的零點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲:甲箱子里裝有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球,2個(gè)黑球,這些球除了顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱).
(1)求在1次游戲中:
①摸出3個(gè)白球的概率.
②獲獎(jiǎng)的概率.
(2)求在3次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年9月,第22屆魯臺(tái)經(jīng)貿(mào)洽談會(huì)在濰坊魯臺(tái)會(huì)展中心舉行,在會(huì)展期間某展銷(xiāo)商銷(xiāo)售一種商品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每件商品售價(jià)x(元)與銷(xiāo)量t(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,又知供貨價(jià)格與銷(xiāo)量呈反比,比例系數(shù)為20.(注:每件產(chǎn)品利潤(rùn)=售價(jià)﹣供貨價(jià)格)
(1)求售價(jià)15元時(shí)的銷(xiāo)量及此時(shí)的供貨價(jià)格;
(2)當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為多少時(shí)總利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
(ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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