【題目】已知點(diǎn)在橢圓上,、分別為的左、右頂點(diǎn),直線的斜率之積為,為橢圓的右焦點(diǎn),直線.

1)求橢圓的方程;

2)直線過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn),直線分別與直線交于、兩點(diǎn).試問:以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),否則,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2)過定點(diǎn),理由見解析.

【解析】

1)利用直線的斜率之積為,得出,再由點(diǎn)在橢圓上,可求出的值,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)由對(duì)稱性知,以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn),設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、,設(shè)點(diǎn)、,求出、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出的值,由,結(jié)合韋達(dá)定理求出的值,即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).

1點(diǎn)在橢圓上,則,①,

易知點(diǎn)、,

直線的斜率為,直線的斜率為,

由題意可得,解得,代入①式得,

因此,橢圓的方程為;

2)易知,直線不能與軸重合.

由對(duì)稱性知,以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn),

設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、,設(shè)點(diǎn)、

如下圖所示:

易知點(diǎn),,即,,

,同理可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,

消去得,,.

由韋達(dá)定理得,,

,

,

,解得.

因此,以為直徑的圓過定點(diǎn).

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