Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上的所有點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的后得到曲線；以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求曲線和直線的直角坐標方程；

（2）已知，設直線與曲線交于不同的、兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式將直線的極坐標方程變形為，由此可將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用伸縮變換可得出曲線的參數(shù)方程，消參后可得出曲線的直角坐標方程；

（2）可知點在直線上，且該直線的傾斜角為，可得出直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），然后將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理可求出.

（1）直線的極坐標方程為，化簡得，

化為直角坐標方程為．

將曲線（為參數(shù)）上的所有點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的后得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消參后得，

因此，曲線的直角坐標方程為；

（2）由題意知在直線上，又直線的傾斜角為，

所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設、對應的參數(shù)分別為、，

將直線的參數(shù)方程代入中，得．

因為在內，所以恒成立，由韋達定理得，

所以．