Question

【題目】某景區(qū)欲建造同一水平面上的兩條圓形景觀步道、（寬度忽略不計），已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點、，與、分別相切于點、，且.

（1）若，求圓、圓的半徑（結果精確到米）；

（2）若景觀步道、的造價分別為每米千元、千元，如何設計圓、圓的大小，使總造價最低？最低總造價為多少（結果精確到千元）？

Answer 1

【答案】（1）圓、圓的半徑分別為米、米；

（2）的半徑與圓的半徑分別為米與米時，總造價最低，最低總造價為千元.

【解析】

（1）直接利用銳角三角函數的定義可計算出兩圓的半徑；

（2）設，可得，其中，然后得出總造價（千元）關于的函數表達式，并利用基本不等式可求出的最小值，利用等號成立求出對應的的值，即可計算出兩圓的半徑長.

（1）依題意，圓的半徑（米），

，

圓的半徑（米） ，

答：圓、圓的半徑分別為米、米；

（2）設，則，其中，

故景觀步道的總造價為.

（當且僅當時取等號），

當時，，

答：設計圓的半徑與圓的半徑分別為米與米時，總造價最低，最低總造價為（千元）.