【題目】如圖,已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),直線,的斜率都存在.
(1)若直線過(guò)原點(diǎn),求證:為定值;
(2)若直線不過(guò)原點(diǎn),且,試探究是否為定值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2),詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)設(shè),,由橢圓對(duì)稱(chēng)性得,把點(diǎn),的坐標(biāo)都代入橢圓得到兩個(gè)方程,再相減,得到兩直線斜率乘積的表達(dá)式;
(2)設(shè),,,則,由得:,進(jìn)而得到直線的方程,再與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系,最后整體代入消元,得到為定值.
(1)當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè),,由橢圓對(duì)稱(chēng)性得,
則.
∵,都在橢圓上,∴,,
兩式相減得:,即.
故.
(2)設(shè),,,則,∵,
∴,設(shè)直線的方程為(),
聯(lián)立方程組消去,
整理得.
∵在橢圓上,∴,
上式可化為.
∴,,
∴,
,
,
∴
;
.
∴(定值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取 名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位: ),所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下,由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 甲班同學(xué)身高的方差較大 B. 甲班同學(xué)身高的平均值較大
C. 甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較大 D. 甲班同學(xué)身高在 以上的人數(shù)較多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四個(gè)正方體中,是正方體的一條體對(duì)角線,點(diǎn)分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出平面的圖形為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)若三棱錐的體積為4,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】羽毛球比賽中采用每球得分制,即每回合中勝方得1分,負(fù)方得0分,每回合由上回合的勝方發(fā)球.設(shè)在甲、乙的比賽中,每回合發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為0.6,各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.若在一局比賽中,甲先發(fā)球.
(1)求比賽進(jìn)行3個(gè)回合后,甲與乙的比分為的概率;
(2)表示3個(gè)回合后乙的得分,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球.
(1)求取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率;
(2)設(shè)為取出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】寒假即將到來(lái),某賓館有50個(gè)房間供游客住宿,當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180元時(shí),房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每在支出20元的各種費(fèi)用(人工費(fèi),消耗費(fèi)用等等).受市場(chǎng)調(diào)控,每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)
(1)設(shè)賓館一天的利潤(rùn)為W元, 求W與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)一天訂住多少個(gè)房間時(shí),賓館的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù),求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x).
(1)求f(﹣1)+f(3)的值;
(2)求證:f(x+1)為奇函數(shù);
(3)若銳角α滿足f(2﹣sinα)+f(cosα)>0,求α的取值范圍.
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