【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn).

（i）求的取值范圍；

（ii）證明：.

【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；

（2）（i）由（1）知，且在處取得極大值，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，所以只需，構(gòu)造函數(shù)解不等式即可；（ii）構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合的單調(diào)性證明即可.

（1），

①當(dāng)時(shí)，，；

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，，或，

，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

④當(dāng)時(shí)，，或，

，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），

（i）若，則恒成立，在上遞增，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，與已知不符合，故

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在處取得極大值，為

當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，

∵有兩個(gè)零點(diǎn)，所以只需極大值，即

設(shè)，

則，所以在上單調(diào)遞減

又，所以使得的.

（ii）結(jié)合（i）的分析，不妨設(shè)，

設(shè)，，

所以

當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增.

∵，且，∴

又，∴，

由，可知與均屬于，

又在上單調(diào)遞減，

∴由，即.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>，部分對(duì)應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示. 下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（ ）

A.函數(shù)的極大值點(diǎn)有個(gè)

B.函數(shù)在上是減函數(shù)

C.若時(shí)，的最大值是，則的最大值為4

D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)

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【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且的面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）判斷方程在內(nèi)的解的個(gè)數(shù)，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)：（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）

①甲地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；

②乙地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；

③丙地5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校共有教職工900人,分成三個(gè)批次進(jìn)行繼續(xù)教育培訓(xùn)，在三個(gè)批次中男、女教職工人數(shù)如下表所示. 已知在全體教職工中隨機(jī)抽取1名,抽到第二批次中女教職工的概率是0.16 .

（1）求的值；

（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查, 問應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名？

（3）已知，求第三批次中女教職工比男教職工多的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】（本小題滿分12分）

已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值是．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過橢圓右頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；

（2）若函數(shù)在和兩處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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