【題目】設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線G:y= + x﹣a2(x∈R),a為常數(shù).
(1)若a≠0,曲線G的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),求經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓C的一般方程;
(2)在(1)的條件下,求圓心C所在曲線的軌跡方程;
(3)若a=0,已知點(diǎn)M(0,3),在y軸上存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有 為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù).
【答案】
(1)解:令x=0,得曲線與y軸的交點(diǎn)是(0,﹣a2),
令y=0,則 + x﹣a2=0,解得x=﹣2a或x=a,
∴曲線與x軸的交點(diǎn)是(﹣2a,0),(a,0).
設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則 ,
解得D=a,E=a2﹣2,F(xiàn)=﹣2a2,
∴圓的一般方程為x2+y2+ax+(a2﹣2)y﹣2a2=0;
(2)解:由(1)可得C(﹣ , )
設(shè)C(x,y),則x=﹣ ,y= ,消去a,得到y(tǒng)=1﹣2x2,
∵a≠0,
∴x≠0,
∴圓心C所在曲線的軌跡方程為y=1﹣2x2(x≠0)
(3)解:若a=0,圓C的方程為x2+(y﹣1)2=1,
令x=0,得到圓C與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,2)
由題意設(shè)y軸上的點(diǎn)N(0,t)(t≠3),
當(dāng)P與圓C的交點(diǎn)為(0,2)時(shí), = ,
當(dāng)P與圓C的交點(diǎn)為(0,0)時(shí), = ,
由題意, = ,∴t= (t=3舍去)
下面證明點(diǎn)N(0, ),對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有 為一常數(shù)
設(shè)P(x,y),則x2+(y﹣1)2=1,
∴ = = ,
∴ = ,
∴在y軸上存在定點(diǎn)N(0, ),滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有 為一常數(shù)
【解析】(1)求出曲線G的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),利用待定系數(shù)法求經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓C的一般方程;(2)由(1)可得C(﹣ , ),消去a,求圓心C所在曲線的軌跡方程;(3)令x=0,得到圓C與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,2),由此求出點(diǎn)N(0, ),對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有 為一常數(shù),再進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓的一般方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn):(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng);(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了;(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn), 為的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),函數(shù),求證: ;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對(duì)于任意的正整數(shù),且 滿足.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+(1﹣k)x﹣k恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
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【題目】命題p: =1表示雙曲線方程,命題q:函數(shù)f(m)= 有意義.若p∨q為真,p∧q為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】隨著我市九龍江南岸江濱路建設(shè)的持續(xù)推進(jìn),未來市民將新增又一休閑好去處,據(jù)悉南江濱路建設(shè)工程規(guī)劃配套建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園ABCD,如圖所示,公園由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)A1B1C1D1(陰影部分)和環(huán)公園人行道組成,已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000m2 , 人行道的寬度分別為4m和10m.
(1)若休閑區(qū)的長(zhǎng)A1B1=x m,求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬該如何設(shè)計(jì)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失。M分為100分).
(1)求圖中的值;
(2)估計(jì)該次考試的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值代表);
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
(參考公式: ,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作兩直線分別交圓于A,B兩點(diǎn),且∠APB=60°,則|PA|2+|PB|2的取值范圍為___.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)的離心率為是和的等比中項(xiàng).
(1)求曲線的方程;
(2)傾斜角為的直線過原點(diǎn)且與交于兩點(diǎn),傾斜角為的直線過且與交于兩點(diǎn),若,求的值.
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