Question

給出下列四個命題
（1）．函數(shù)f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)，既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；
（2）0＜x＜1，a，b∈R，且a•b＞0，則函數(shù)y=

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是a²+b²；
（3）已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

滿足條件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，且|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，則△P₁P₂P₃為正三角形；
（4）已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，則k∈（0，2）；
其中正確命題的有

（3）

（填出滿足條件的所有序號）

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)的奇偶性，先求函數(shù)的定義域，再化簡函數(shù)，最后計算f（-x），與f（x）比較即可．
（2）因為0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，所以函數(shù)y=

a2

x

+

b2

1-x

的函數(shù)值一定大于a²+b²，所以函數(shù)y=

a2

x

+

b2

1-x

的最小值不是a²+b²．
（3）通過條件|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1判斷點P₁，P₂，P₃都在以O(shè)為圓心，半徑是1的圓上，再根據(jù)

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，判斷三個向量

OP1

，

OP2

，

OP3

，任兩個所成角都為120°，就可金額得到∴△P₁P₂P₃為正三角形．
（4）先把不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

變形為k＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

，借助均值定理求出k的范圍，與所給范圍比較即可．

解答：解：（1）求函數(shù)f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)的定義域，為[-a，a]，∴f（x）可化簡為f（x）=f(x)=

a2-x2

x

(a＞0)
∴f(-x)=

a2-x2

-x

=-f（x），∴函數(shù)f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)為奇函數(shù)，（1）錯誤．
（2）∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，∴函數(shù)y=

a2

x

+

b2

1-x

的函數(shù)值不可能等于a²+b²，∴（2）錯誤．
（3）∵向量

OP1

，

OP2

，

OP3

滿足條件|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，
∴點P₁，P₂，P₃都在以O(shè)為圓心，半徑是1的圓上，又∵

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，
∴三個向量

OP1

，

OP2

，

OP3

，任兩個所成角都為120°，
∴△P₁P₂P₃為正三角形，（3）正確．
（4）不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

可變形為k＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

，
∴若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，則k一定小于

a-c

a-b

+

a-c

b-c

的最小值，
而

a-c

a-b

+

a-c

b-c

=

a-b+bc

a-b

+

a-b+b-c

b-c

=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4，∴k∈（-∞，40，∴（4）錯誤
故答案為（3）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)用均值定理求函數(shù)的最值，以及向量的加法運算的應(yīng)用，屬于綜合題．