Question

【題目】已知圓．

(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)的方程；

(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程及的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）2x－4y＋3＝0，

【解析】

（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心C，半徑r．分類(lèi)討論，利用C到l的距離為1，即可求直線(xiàn)l的方程；

（2）設(shè)P（x，y）．由切線(xiàn)的性質(zhì)可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y﹣12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x﹣4y+3=0的距離．

解：(1) (1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝－2，

易求直線(xiàn)l與圓C的交點(diǎn)為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，

則圓心C到直線(xiàn)l的距離，

解得，

所以直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋6＝0

綜上，直線(xiàn)l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0

(2) 如圖，PM為圓C的切線(xiàn)，連接MC，PC，則CM⊥PM，

所以△PMC為直角三角形，

所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2

設(shè)P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，

因?yàn)?/span>|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點(diǎn)O到直線(xiàn)2x－4y＋3＝0的距離，

代入點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得|PM|的最小值為.