Question

【題目】已知能表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和.

（1）請分別求出與的解析式；

（2）記，請判斷函數(shù)的奇偶性和單調性，并分別說明理由.

（3）若存在，使得不等式能成立，請求出實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由函數(shù)方程組可求與的解析式.

（2）利用奇函數(shù)的定義和函數(shù)單調性定義可證明為奇函數(shù)且為上的增函數(shù).

（3）根據(jù)（2）中的結果可以得到在上有解，參變分離后利用換元法可求的取值范圍.

（1）由已知可得，則，

由為奇函數(shù)和為偶函數(shù)，上式可化為，

聯(lián)合，

解得.

（2）由（1）得定義域為，

①由，可知為上的奇函數(shù).

②由，

設，則，

因為，故，，

故即，故在上單調遞增

（3）由為上的奇函數(shù)，

則等價于

，

又由在上單調遞增，則上式等價于，

即，

記，令，

可得，易得當時，即時，

由題意知，，故所求實數(shù)的取值范圍是.