Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.函數(shù)

（1）試用含的代數(shù)式表示；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，，證明：線段與曲線存在異于，的公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析.（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后利用，即可得解；

（2）求導(dǎo)后分，和三種情況討論求出單調(diào)區(qū)間即可；

（3）由的極值得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線的方程，聯(lián)立方程求解即可得解.

（1）由，得，

∵在點(diǎn)處的切線斜率為0，

∴，∴；

（2）由（1）得，則

，

令，則或，

①當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)在和上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，且僅有時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，，

同理可得的增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；

（3）當(dāng)時(shí)，，

令，則或，

由（2）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

∴函數(shù)在和3處取得極值，

∴，，所以.

∴直線的方程為，

由得，

令，

易得，，

而的圖象在(0，2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在(0，2)內(nèi)存在零點(diǎn)，即線段與曲線有異于，的公共點(diǎn).