Question

已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“域同區(qū)間”.試問函數(shù)在上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求出極值點，解有關(guān)導(dǎo)數(shù)的不等式，從而確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)定義得到，，問題轉(zhuǎn)化為求方程在區(qū)間上的實數(shù)根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來討論方程在區(qū)間上的實根的個數(shù)，從而確定函數(shù)在區(qū)間上是否存在“域同區(qū)間”.
試題解析：（1），定義域為，
且，
令，即，解得或；令，即，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，
假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在“域同區(qū)間”，則有，，
則方程在區(qū)間上有兩個相異實根，
構(gòu)造新函數(shù)，定義域為，
則，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，則恒成立，
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，
故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，則有，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，
因為，，，
所以函數(shù)在區(qū)間有且只有一個零點，
這與方程有兩個大于的實根相矛盾，所以假設(shè)不成立！
所以函數(shù)在區(qū)間上不存在“域同區(qū)間”.