【題目】設(shè)橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，若，求證：為定值；

（3）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）求得的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由求得，也即求得點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入橢圓，化簡后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉(zhuǎn)化為邊長的比值，即.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性可知，不符合題意.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線的方程.代入橢圓方程，化簡后寫出韋達(dá)定理.由，求得，代入韋達(dá)定理，由此解方程求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2），，

設(shè)，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡得為定值．

（3）等價(jià)于，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意．

故直線的斜率存在，設(shè)：，

由消去，得，

設(shè)，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡得，解得．

所以，直線的方程為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖一塊長方形區(qū)域，，，在邊的中點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.

（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”（自轉(zhuǎn)到，再回到，稱“一個(gè)來回”，忽略在及處所用的時(shí)間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定，設(shè)邊上有一點(diǎn)，且，求點(diǎn)在“一個(gè)來回”中被照到的時(shí)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】足球是世界普及率最高的運(yùn)動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學(xué)校y（百個(gè)）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.

（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.

參考公式和數(shù)據(jù)：，

，

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班學(xué)生中喜愛看綜藝節(jié)目的有18人，體育節(jié)目的有27人，時(shí)政節(jié)目的有9人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)生中抽取6名學(xué)生．

（Ⅰ）求應(yīng)從喜愛看綜藝節(jié)目，體育節(jié)目，時(shí)政節(jié)目的學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人分作一組，

（1）列出所有可能的結(jié)果；

（2）求抽取的2人中有1人喜愛綜藝節(jié)目1人喜愛體育節(jié)目的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？

（2）在（1）的條件下，當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí)，才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．

（1）設(shè)，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的集合；若不是，也請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用萬元滿足（其中，為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元件．

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，該公司的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，且△的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

（3）由拋物線弧（）與第（1）小題橢圓弧（）所合成的封閉曲線為“盾圓”，設(shè)過點(diǎn)的直線與“盾圓”交于、兩點(diǎn)，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；

（Ⅲ）已知點(diǎn)在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

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