【題目】超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用,病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y,高燒,痙攣,昏迷,甚至死亡.

某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,每個(gè)樣本取到的可能性相等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)次;(2)混合檢驗(yàn),將其中)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,則這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了;如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為

現(xiàn)取其中)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為

1)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

2)若與抗生素計(jì)量相關(guān),其中是不同的正實(shí)數(shù),滿足,對(duì)任意的,都有

i)證明:為等比數(shù)列;

ii)當(dāng)時(shí),采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):,,,

【答案】1,(,且);(2)(i)見解析,(ii4

【解析】

1)易知若取份血液樣本則;的所有可能取值為1,根據(jù)概率公式可表示出.結(jié)合,化簡即可關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

2)(i)根據(jù)當(dāng)時(shí)成立,則由數(shù)學(xué)歸納法即可證明為等比數(shù)列.(ii)根據(jù)(i)可得,,化簡可得,構(gòu)造函數(shù),求得導(dǎo)函數(shù),可通過的符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合參考數(shù)據(jù),即可求得的最大值.

1)由已知得;的所有可能取值為1,

.

.

,

,,

.

關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為,(,且.

2)(i)證明:當(dāng)時(shí),,

,令,則

,下面證明對(duì)任意的正整數(shù)n.

①當(dāng),2時(shí),顯然成立;

②假設(shè)對(duì)任意的時(shí),,下面證明時(shí),

由題意,得,,

,,

,

.

(負(fù)值舍去).

成立.

由①②可知,為等比數(shù)列,.

ii)由(i)知,,,

,得,

.

設(shè),

當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)減.

,,

;,

.

的最大值為4.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了解高一新生的體能情況,在入學(xué)后不久,組織了一次體能測試,按成績分為優(yōu)秀、良好、一般、較差四個(gè)檔次.現(xiàn)隨機(jī)抽取120名學(xué)生的成績,其條形圖如下:

1)將優(yōu)秀、良好、一般歸為合格,較差歸為不合格,試根據(jù)條形圖完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績與性別有關(guān).

合格

不合格

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

2)學(xué)校為了解學(xué)生以前參加課外活動(dòng)的情況,利用分層抽樣的方法從120名學(xué)生中抽取24名學(xué)生參加一個(gè)座談會(huì).

①座談會(huì)上抽取2名學(xué)生匯報(bào)以前參加課外活動(dòng)的情況,求恰好抽到測試成績一個(gè)優(yōu)秀與一個(gè)較差的學(xué)生的概率;

②為全面提高學(xué)生的體能,學(xué)校專門安排專職教師對(duì)全校測試成績較差的學(xué)生在課外活動(dòng)時(shí)進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練,通過一段時(shí)間的訓(xùn)陳后,測試合格率達(dá)到了.若某班有4名學(xué)生參加這個(gè)專項(xiàng)訓(xùn)陳,求訓(xùn)練后測試合格人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附:K2,其中na+b+c+d

PK2k0

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,,的中點(diǎn).

(1)證明:平面;

(2)若點(diǎn)在棱上,且,求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;

(Ⅱ)求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有甲乙丙丁四個(gè)人相互之間傳球,從甲開始傳球,甲等可能地把球傳給乙丙丁中的任何一個(gè)人,依此類推.

1)通過三次傳球后,球經(jīng)過乙的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列和期望;

2)設(shè)經(jīng)過n次傳球后,球落在甲手上的概率為an

i)求a1,a2,an;

ii)探究:隨著傳球的次數(shù)足夠多,球落在甲乙丙丁每個(gè)人手上的概率是否相等,并簡單說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】201971日,《上海市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施,生活垃圾要按照可回收物有害垃圾、濕垃圾干垃圾的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,沒有垃圾分類和未投放到指定垃圾桶內(nèi)等會(huì)被罰款和行政處罰.若某上海居民提著廚房里產(chǎn)生的濕垃圾隨意地投放到樓下的垃圾桶,若樓下分別放有可回收物、有害垃圾濕垃圾、干垃圾四個(gè)垃圾桶,則該居民會(huì)被罰款和行政處罰的概率為(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 ,則數(shù)列中的為(

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】科技引領(lǐng),布局未來科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007~2018年,某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元,我們將研發(fā)投入與經(jīng)營投入的比值記為研發(fā)投入占營收比,這12年間的研發(fā)投入(單位:十億元)用圖中的條形圖表示,研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖,下列結(jié)論正確的有(

A.2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017年至2018年研發(fā)投入占營收比增量大

B.2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年研發(fā)投入增量小

C.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入逐年增加

D.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入占營收比逐年增加

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且.

1)求實(shí)數(shù)ab的值;

2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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