【題目】如圖，矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，，，，.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)即可求解異面直線所成角的余弦值；

（2）分別求出兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.

矩形所在的平面垂直于平面，為的中點，在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，

同理在平面內(nèi)過作的垂線交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，所以兩兩互相垂直，

如圖所示，建立空間直角坐標系，

因為，所以，

易得，

（1）由上述點坐標可知，，所以直線與所成角的余弦值；

（2）因為，設平面的法向量為，則

解得，取，可得，

設平面的法向量為，則

解得，取，可得，

設二面角的平面角為，則，

所以.

練習冊系列答案
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【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求與的交點的直角坐標；

（2）求上的點到直線的距離的最大值．

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【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l：（t為參數(shù)）與曲線C：（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點A，B．

（Ⅰ）若α＝，求線段AB中點M的坐標；

（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直線l的斜率．

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【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：

AQI

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.

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【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)，當時， 的最大值為，求證： .

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【題目】在邊長為8正方形中，點為的中點，是上一點，且，若對于常數(shù)，在正方形的邊上恰有個不同的點，使得，則實數(shù)的取值范圍為______.

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【題目】從某學校高三年級共1000名男生中隨機抽取50人測量身高.據(jù)測量，被測學生身高全部介于155cm到195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.其中第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求第六組、第七組的頻率，并估計高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；

（2）學校決定讓這五十人在運動會上組成一個高旗隊，在這五十人中要選身高在180cm以上（含180cm）的三人作為隊長，記X為身高在的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】已知點M，N分別是橢圓C：（）的左頂點和上頂點，F為其右焦點，，橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設不過原點O的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求面積的取值范圍.

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【題目】設函數(shù).

（1）證明：，都有；

（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求的極值.

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