【題目】若f(x)為二次函數(shù),﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的兩根,f(0)=1
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),

由f(0)=1可得c=1,

故方程f(x)﹣x﹣4=0可化為ax2+(b﹣1)x﹣3=0,

∵﹣1和3是方程f(x)﹣x﹣4=0的兩根,

∴由韋達(dá)定理可得﹣1+3=﹣ ,﹣1×3= ,

解得a=1,b=﹣1,故f(x)的解析式為f(x)=x2﹣x+1


(2)解:∵在區(qū)間[﹣1,1]上,不等式f(x)>2x+m有解,

∴m<x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1,1]上有解,

故只需m小于函數(shù)g(x)=x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值,

由二次函數(shù)可知當(dāng)x=﹣1時(shí),函數(shù)g(x)取最大值5,

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,5)


【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),由題意和韋達(dá)定理待定系數(shù)可得;(2)問題轉(zhuǎn)化為m<x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1,1]上有解,只需m小于函數(shù)g(x)=x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值,由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得.

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