如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;
(Ⅲ)求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值.
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分析:(Ⅰ)證明直線與平面垂直,關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直.在這個“折疊問題”中,要把握好不變的長度關(guān)系、線線關(guān)系、線面關(guān)系,比如:AB=3,BC=4,AC=5,所以AB⊥BC;四邊形ADD1A1為正方形,AA1∥BB1,所以AB⊥BB1
(Ⅱ)本題的兩問是遞進式的,第(1)問是為第(2)問作鋪墊的.因為AB⊥平面BCC1B1,所以AB為四棱錐A-BCQP的高,并且四邊形BCQP為直角梯形.
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為原點,分別以BC、BB1、BA為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可.
解答:(Ⅰ)證明:在正方形ADD1A1中,因為CD=AD-AB-BC=5,
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的邊AC=5.
因為AB=3,BC=4,
所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.(2分)
因為四邊形ADD1A1為正方形,AA1∥BB1
所以AB⊥BB1,而BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面BCC1B1.(5分)
(Ⅱ)解:因為AB⊥平面BCC1B1,
所以AB為四棱錐A-BCQP的高.
因為四邊形BCQP為直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,
所以梯形BCQP的面積為SBCQP=
1
2
(BP+CQ)×BC=20

所以四棱錐A-BCQP的體積VA-BCQP=
1
3
SBCQP×AB=20
.(9分)
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,
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則A(0,0,3),B(0,0,0),C(4,0,0),P(0,3,0),Q(4,7,0),
所以
AP
=(0,3,-3)
,
AQ
=(4,7,-3)
,
設(shè)平面PQA的一個法向量為n1=(x,y,z).
n1
AP
=0
n1
AQ
=0.
3y-3z=0
4x+7y-3z=0.

令x=-1,則y=z=1.
所以n1=(-1,1,1).(12分)
顯然平面BCA的一個法向量為n2=(0,1,0).
設(shè)平面PQA與平面BCA所成銳二面角為θ.
cosθ=cos<n1,n2>=
n 1n2
|n1||n2|
=
3
3

所以平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值為
3
3
.(14分)
點評:本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖1所示,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
(1)求證:AB⊥PQ;
(2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.
(3)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1所示,在邊長為12的正方形AA′A1′A1中,點B,C在線段AA′上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點B1、P,作CC1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A1′與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:AB⊥平面BCC1B1;
(2)求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;
(Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1所示,在邊長為的正方形中,,且,,分別交于點,將該正方形沿、折疊,使得重合,構(gòu)成如圖2所示的三棱柱

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)在底邊上有一點,,

求證:

(III)求直線與平面所成角的正弦值.

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