Question

如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形ADD₁A₁中，點(diǎn)B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)B₁，P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點(diǎn)C₁，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊前后的線段長(zhǎng)度，得出AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC，因?yàn)樗倪呅蜛DD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，可以證出AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）由（1）AB為四棱錐A-BCQP的高．四邊形BCQP為直角梯形，利用錐體體積計(jì)算公式計(jì)算即可．

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在正方形ADD₁A₁中，因?yàn)镃D=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．
因?yàn)锳B=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．…（2分）
因?yàn)樗倪呅蜛DD₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁． …（7分）
（Ⅱ）解：因?yàn)锳B⊥平面BCC₁B₁，
所以AB為四棱錐A-BCQP的高．
因?yàn)樗倪呅蜝CQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面積為SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20．
所以四棱錐A-BCQP的體積VA-BCQP=

1

3

SBCQP×AB=20． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體體積計(jì)算，線線垂直，線面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．