Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A′₁與AA₁重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．
（3）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥BC．AB⊥BB_1，得AB⊥平面BC₁，易得AB⊥PQ；
（2）過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，從而四邊形PBMN為平行四邊形，對邊平行BM∥PN，由線面平行的判定定理得BM∥平面APQ；
（3）先求得各點的坐標，從而得出相應(yīng)向量的坐標，再求出平面APQ的法向量，由線面角公式求解．

解答：解：證明：（1）證明：因為AB=3，BC=4，
所以AC=5，從而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（2分）
又因為AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ；（4分）

（2）解：過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
因為AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7（6分）
∴MN=PB=3，∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四邊形PBMN為平行四邊形∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ（8分）

（3）解：由圖1知，PB=AB=3，QC=7，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，
則A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）

BC

=(0，4，0)，

AP

=(-3，0，3)，

AQ

=(-3，4，7)（10分）
設(shè)平面APQ的法向量為

n

=(a，b，c)，
所以

n • AP =0 n • AQ =0

得

-3a+3c=0 -3a+4b+7c=0

，
令a=1，則c=1，b=-1，cos＜

BC

，

n

＞=

BC • n

| BC || n |

=

-4

4× 3

=-

3

3

所以直線BC與平面APQ所成角的正弦值為

3

3

（12分）
（注）用其他解法可相應(yīng)給分．

點評：本題主要考查線與線，線與面，面與面的位置關(guān)系和線面平行和線面垂直的判定定理及空間向量的應(yīng)用，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的能力．