【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)
的取值范圍;
(3)證明.
【答案】(1)函數(shù)的遞增區(qū)間為
,函數(shù)
的遞減區(qū)間為
;(2)
;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上零點情況:當k≤0時,導(dǎo)函數(shù)恒大于零,為增函數(shù);當k>0時,由一個零點x=
,先減后增(2)不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化Wie對應(yīng)函數(shù)最值問題,即
,結(jié)合(1)的單調(diào)性情況,可得k>0且f(
)=ln
≤0解得k≥1,(3)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,一般方法為構(gòu)造恰當函數(shù),利用其增減性進行證明:因為k=1時,f(x)≤0恒成立,即ln(x﹣1)<x﹣2,令
,則
,代入疊加得證
試題解析:(I)∵f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,(x>1)
∴f′(x)=﹣k,
當k≤0時,f′(x)>0恒成立,故函數(shù)在(1,+∞)為增函數(shù),
當k>0時,令f′(x)=0,得x=
當f′(x)<0,即1<x<時,函數(shù)為減函數(shù),
當f′(x)>0,即x>時,函數(shù)為增函數(shù),
綜上所述,當k≤0時,函數(shù)f(x)在(1,+∞)為增函數(shù),
當k>0時,函數(shù)f(x)在(1,)為減函數(shù),在(
,+∞)為增函數(shù).
(Ⅱ)由(1)知,當k≤0時,f′(x)>0函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)≤0不恒成立,
當k>0時,函數(shù)f(x)在(1,)為減函數(shù),在(
,+∞)為增函數(shù).
當x=時,f(x)取最大值,f(
)=ln
≤0
∴k≥1,即實數(shù)k的取值范圍為[1,+∞)
(Ⅲ)由(2)知k=1時,f(x)≤0恒成立,即ln(x﹣1)<x﹣2
∴<1﹣
,
∵=
=
<
=
取x=3,4,5…n,n+1累加得
∴+…+
<
+
+
+…+
=
,(n∈N,n>1).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差
大于0,且
,
是方程
的兩根,數(shù)列
的前
項和為
,且
.
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項和為
,試比較
與
的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)如圖,設(shè)直線將坐標平面分成
四個區(qū)域(不含邊界),若函數(shù)
的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi),判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的
的取值范圍;
(2)當時,求證:
且
,有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次猜燈謎活動中,共有20道燈謎,兩名同學(xué)獨立競猜,甲同學(xué)猜對了12個,乙同學(xué)猜對了8個,假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的,試求:
(1)任選一道燈謎,恰有一個人猜對的概率;
(2)任選一道燈謎,甲、乙都沒有猜對的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)且
)曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),且
),以
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為:
,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求與
的交點到極點的距離;
(2)設(shè)與
交于
點,
與
交于
點,當
在
上變化時,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由于疫情影響,今年我們學(xué)校開展線上教學(xué),高一年級某班班主任為了了解學(xué)生上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間,對本班40名學(xué)生某天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查,將數(shù)據(jù)(取整數(shù))整理后,繪制出如圖所示頻率分布直方圖,已知從左到右各個小組的頻率分別是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,則根據(jù)直方圖所提供的信息.
(1)這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間在分鐘之間的學(xué)生有多少人?
(2)這40位同學(xué)的線上平均學(xué)習(xí)時間是多少?
(3)如果只用這40名學(xué)生這一天上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生該天的上網(wǎng)學(xué)習(xí)時間,這樣推斷是否合理?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解校園噪音情況,學(xué)校環(huán)保協(xié)會對校園噪音值(單位:分貝)進行了天的監(jiān)測,得到如下統(tǒng)計表:
噪音值(單位:分貝) | ||||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)該統(tǒng)計表,求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點值作代表).
(2)根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標準:“環(huán)境噪音值超過分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超過
分貝,視為度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率,回答下列問題:
(i)求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.
(ii)學(xué)校要舉行為期天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這
天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為
,求
的分布列和方差
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為( )
①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.
②盒子里共有80個零件,從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時,從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里.
③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗.
④某班有56名同學(xué),指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的一系列對應(yīng)值如下表:
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個解析式;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,若函數(shù)周期為
,當
時,方程
恰有兩個不同的解,求實數(shù)
的取值范圍.
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