Question

【題目】2020年4月8日，武漢市雷神山醫(yī)院為確診新型冠狀病毒肺炎患者，需要檢測核酸是否為陽性，現(xiàn)有份核酸樣本，有以下兩種檢測方式：（1）逐份檢測，則需要檢測次；（2）混合檢測，將其中(，且)份核酸樣本分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，這份核酸樣本全為陰性，因而這份核酸樣本只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這份核酸樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份樣本再逐份檢測，此時這份核酸樣本的檢測次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）假設(shè)有5份核酸樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢測方式，求恰好經(jīng)過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率.

（2）現(xiàn)取其中(，且)份核酸樣本，記采用逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)為，采用混合檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)為.

①試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②若，用混合檢測方式可以使得樣本需要檢測的總次數(shù)的期望值比逐份檢測的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

Answer 1

【答案】（1）；（2）①(，且)；②.

【解析】

（1）利用古典概率計算公式即可得出．

（2）①由已知得，的所有可能取值為1，．可得，，即可得出期望．根據(jù)，解得．

②由題意可知，得，，，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解：（1）由題意可知，

故恰好經(jīng)過4次檢測就能把陽性樣本全部檢測出來的概率為.

（2）①由已知得的所有可能取值為1，，

.

.

若，則，

即，

故關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為(，且).

②由題意可知，得，

，設(shè)，

則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減. .

的最大值為4.