【題目】如圖，某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園，其中O為扇形所在圓的圓心，AOB＝，OA，OB，為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要，市政部門擬在上選取一點(diǎn)M，新建道路OM及與OA平行的道路MN（點(diǎn)N在線段OB上），設(shè)AOM＝.

（1）如何設(shè)計(jì)，才能使市民從點(diǎn)O出發(fā)沿道路OM，MN行走至點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由；

（2）如何設(shè)計(jì)，才能使市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路，MN行走至點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，市民從點(diǎn)O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)，詳見解析（2）當(dāng)時(shí)，市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)，詳見解析

【解析】

（1）由題意知OM＝OA＝R，且，由正弦定理得，則，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案；

（2）由題意得市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出答案．

解：（1）由題意知OM＝OA＝R，且，

在△OMN中，由正弦定理得，

于是，

從而市民從點(diǎn)O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)

，

∴當(dāng)即時(shí)，取最大值，

即當(dāng)時(shí)，市民從點(diǎn)O出發(fā)沿道路OM，MN行走所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)；

（2）市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)，

，

當(dāng)，時(shí)，，從而恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，

即當(dāng)時(shí)，市民從點(diǎn)A出發(fā)沿道路AM，MN行走所經(jīng)過的路徑最長(zhǎng)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某總公司在A，B兩地分別有甲、乙兩個(gè)下屬公司同時(shí)生產(chǎn)某種新能源產(chǎn)品（這兩個(gè)公司每天都固定生產(chǎn)50件產(chǎn)品），所生產(chǎn)的產(chǎn)品均在本地銷售.產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)之前需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測(cè)，得分低于80分的定為次品，需要返廠再加工；得分不低于80分的定為正品，可以進(jìn)入市場(chǎng).檢測(cè)員統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩個(gè)下屬公司100天的生產(chǎn)情況及每件產(chǎn)品盈利虧損情況，數(shù)據(jù)如下表所示：

表1：

甲公司

得分

件數(shù)

10

10

40

40

50

天數(shù)

10

10

10

10

80

表2：

乙公司

得分

件數(shù)

10

5

40

45

50

天數(shù)

20

10

20

10

70

表3：

每件正品

每件次品

甲公司

盈2萬元

虧3萬元

乙公司

盈3萬元

虧3.5萬元

（1）分別求甲、乙兩個(gè)公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的正品率（用百分?jǐn)?shù)表示）；

（2）試問甲乙兩個(gè)公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)哪個(gè)更大?說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．

（1）若m＝1，求的最小值；

（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（ ）

A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)

B.隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)

C.月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大

D.我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中有16個(gè)格點(diǎn)(i，j)，其中0≤i≤3，0≤j≤3.若在這16個(gè)點(diǎn)中任取n個(gè)點(diǎn)，這n個(gè)點(diǎn)中總存在4個(gè)點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)是一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，求n的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高速公路全程設(shè)有2n(n≥4，)個(gè)服務(wù)區(qū).為加強(qiáng)駕駛?cè)藛T的安全意識(shí)，現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)服務(wù)區(qū)的入口處設(shè)置醒目的宣傳標(biāo)語A或宣傳標(biāo)語B.

（1）若每個(gè)服務(wù)區(qū)入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語A的概率為，入口處設(shè)置宣傳標(biāo)語B的服務(wù)區(qū)有X個(gè)，求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）試探究全程兩種宣傳標(biāo)語的設(shè)置比例，使得長(zhǎng)途司機(jī)在走該高速全程中，隨機(jī)選取3個(gè)服務(wù)區(qū)休息，看到相同宣傳標(biāo)語的概率最小，并求出其最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到直線的距離為3.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，在線段上，且滿足，求點(diǎn)軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，上的點(diǎn)與的兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為．

（1）求的方程；

（2）若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且∥．判斷是否為定值，若是求出該值；若不是請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把一塊邊長(zhǎng)為的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對(duì)應(yīng)邊垂直）剪去六個(gè)全等的四邊形（陰影部分），折起六個(gè)矩形焊接制成一個(gè)正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽略），設(shè)容器的底面邊長(zhǎng)為.

（1）若，且該容器的表面積為時(shí)，在該容器內(nèi)注入水，水深為，若將一根長(zhǎng)度為的玻璃棒（粗細(xì)忽略）放入容器內(nèi)，一端置于處，另一端置于側(cè)棱上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長(zhǎng)度；

（2）求該容器的底面邊長(zhǎng)的范圍，使得該容器的體積始終不大于.

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