選修4-4：參數(shù)方程選講
已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2
3
，
π
6
)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2
3
ρsinθ=1．
（Ⅰ）寫(xiě)出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線l：
x=3+2t
y=-2+t
（t為參數(shù)）距離的最小值．
考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程
專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出，
解答：解 （1）∵P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2
3
，
π
6
)，
∴xP=2
3
cos
π
6
=2
3
×
3
2
=3，yP=2
3
sin
π
6
=2
3
×
1
2
=
3
．
∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(3，
3
)
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入ρ2+2
3
ρsinθ=1可得x2+y2+2
3
y=1，即x2+(y+
3
)2=4
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y+
3
)2=4．
（2）曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=-
3
+2sinθ
（θ為參數(shù)），直線l的普通方程為x-2y-7=0
設(shè)Q(2cosθ，-
3
+2sinθ)，則線段PQ的中點(diǎn)M(
3
2
+cosθ，sinθ)．
那么點(diǎn)M到直線l的距離d=
|
3
2
+cosθ-2sinθ-7|
12+22
=
|cosθ-2sinθ-
11
2
|
5
=
5
sin(θ-φ)+
11
2
5
.≥
-
5
+
11
2
5
=
11
5
10
-1，
∴點(diǎn)M到直線l的最小距離為
11
5
10
-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為
x=2t
y=1+4t
（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），則直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=
3
cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐 標(biāo) 系，曲 線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+
π
4
）=4
2
．
（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l上兩點(diǎn)M，N的極坐標(biāo)分別為（2，0），(
2
3
3
，
π
2
)，圓C的參數(shù)方程為
x=2+2cosθ
y=-
3
+2sinθ
（θ為參數(shù)）．①設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；②判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t
y=
2
2
t+4
2
（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos（θ+
π
4
）．
（1）求圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C1：
x=-4+cosα
y=3+sinα
，（α為參數(shù)），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
，（θ為參數(shù)）
（Ⅰ）化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=
π
2
，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：
x=3+2t
y=-2+t
，（t為參數(shù)）距離的最小值及此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線M的參數(shù)方程為
x=sinθ+cosθ
y=sin2θ
（θ為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
t（其中t為常數(shù)）．
（1）求曲線M的普通方程；
（2）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合．若曲線C1的方程為ρsin（θ-
π
6
）+2
3
=0，曲線C2的參數(shù)方程為
x=cosθ
y=sinθ

（Ⅰ）將C1的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=ax2+bx與函數(shù)y=xa+b（a≠0），在同一坐標(biāo)系中的圖象可能為（　　）
A、
B、
C、
D、

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