Question

（選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線M的參數(shù)方程為

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數(shù)），若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）．
（1）求曲線M的普通方程；
（2）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（1）考查曲線M的參數(shù)方程為

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數(shù)），曲線N的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）化為普通方程，（2）采用數(shù)形結(jié)合容易解決．

解答：（1）∵x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]
∴x²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+sin2θ
即得曲線M的普通方程為：y=x²-1（|x|≤

2

）
（2）曲線M是拋物線的一部分；
對(duì)于曲線N，
∵曲線N的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）．
∴化成直角坐標(biāo)方程為x+y=t，曲線N是一條直線．
若曲線M，N只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線N過(guò)點(diǎn)時(shí)滿足要求，并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)（-

2

，1）之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以-

2

+1＜t≤

2

+1滿足要求，
相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，由t-x=x²-1，得x²+x-1-t=0，△=1+4（1+t）=0，得t=-

5

4

，
∴t的取值范圍為-

2

+1＜t≤

2

+1或t=-

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是坐標(biāo)系與參數(shù)方程，難點(diǎn)是方程的轉(zhuǎn)化，一道高考常見(jiàn)題型