Question

【題目】四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，側(cè)面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4。

（I）證明：AB⊥面BCDE；

（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BE⊥BC，從而BE⊥平面ABC，進(jìn)而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能證明AB⊥面BCDE．

（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值．

由側(cè)面底面，且交線為，底面為矩形

所以平面，又平面，所以

由面面，同理可證，又面

在底面中，，

由面 ，故,

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

設(shè)平面的法向量，則，取

所以平面的法向量，同理可求得平面的法向量.

設(shè)二面角的平面角為，則

故所求二面角的正弦值為.