Question

(本小題滿分12分)已知函數(shù).（）
（1）若函數(shù)有三個零點，且，，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，試問：導函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)是否有零點，并說明理由.
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導函數(shù)的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）（2）導函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點.（3）.

試題分析：（1）因為，又，  
則  ………   （1分）
因為x₁，x₃是方程的兩根，則
，，.即      …… （2分）
從而：，
所以. 
令   解得： … ………          （3分）
當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）
（2）因為，，所以，
即.
因為，所以，即.       （5分）
于是，，.
①當時，因為，
則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.        （6分）
②當時，因為，
則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點.
故導函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個零點.          （8分）
（3）設(shè)m，n是導函數(shù)的兩個零點，則，.
所以.
由已知，，則，即.
所以，即或.               （10分）
又，，所以，即.
因為，所以. 
綜上分析，的取值范圍是.                          （12分）
點評：可導函數(shù)的極值點都是導數(shù)等于零的點，求出結(jié)果要帶回去檢驗，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是轉(zhuǎn)化為導數(shù)與０的大小關(guān)系進行確定，導數(shù)大于０，原函數(shù)遞增，導函數(shù)小于０，則原函數(shù)遞減，特別是函數(shù)含字母時，要注意字母對解不等式的影響，有時需要分類討論