Question

（本小題滿分14分）
已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．
（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論思想和創(chuàng)新意識等．）
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175301149301.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．…………………1分
由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175301352454.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．……………3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．…………………………………………………………4分
（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175301913757.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．………5分
因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，……………………………………………6分
所以聯(lián)立方程組………………………………………………7分
消去，，即得直線的方程為．………………………………………………8分
方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175302896316.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175303114448.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．……………………………………………………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175303146326.gif" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)平面幾何知識可知，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175303192486.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．………………………………………………………………………7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．………………………………………………………………8分
方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175302896316.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175303114448.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．……6分
這說明點(diǎn)在直線上．…………7分
同理點(diǎn)也在直線上．
所以就是直線的方程．……8分
（3）由（2）知，直線的方程為，
所以點(diǎn)到直線的距離為．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231753041441860.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以三角形的面積．……………………………………10分
以下給出求三角形的面積的三種方法：
方法1：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，即．
設(shè)，
所以．………………………………………………………………………………………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175304394855.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．……………………………………12分
當(dāng)，即時，，…………………………………13分
當(dāng)，即時，．
綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．………14分
方法2：設(shè)，則．…………………………………………11分
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．
所以．
令，則．
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．…………………………………12分
當(dāng)，即時，，……………………………………13分
當(dāng)，即時，．
綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．………14分
方法3：設(shè)，則．…………………………………11分
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即，即．
所以．
令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．………………………………12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175306359247.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，
當(dāng)，即時，，此時．
………………………………13分
當(dāng)，即時，，此時．
綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，．………14分

略