【題目】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若為等差數(shù)列,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù), 使成等比數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)等比數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若數(shù)列滿足,,且對(duì)任意的,都有,求正整數(shù)k的最小值.
【答案】(1);(2)3,9,27;(3)3
【解析】
(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,再利用等差中項(xiàng)得,然后求得公差d=2,求出通項(xiàng);
(2)假設(shè)存在,使得,,成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列中項(xiàng)可得
法一:利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題求解;法二:直接解方程求解;得出n=1;
(3)根據(jù)題意由 可知,,然后用累加法和放縮法得
,再對(duì)n進(jìn)行討論,求得k的值.
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差d,則,.
又是等差數(shù)列,所以,
即,解得d=2.
此時(shí),,符合數(shù)列是等差數(shù)列,
所以.
(2)假設(shè)存在,使得,,成等比數(shù)列.
則,
由(1)可知,,代入上式,得
,
整理得.(*)
法一: 令,x≥1.
則,
所以在上單調(diào)增,
所以在上至少有一個(gè)根.
又,
故是方程(*)的唯一解.
所以存在,使得,,成等比數(shù)列,
且該等比數(shù)列為3,9,27.
法二:,即,
所以方程(*)可整理為.
因?yàn)?/span>,所以無(wú)解,故.
所以存在,使得,,成等比數(shù)列,
且該等比數(shù)列為3,9,27.
(3)由 可知,.
又,,故,所以.
依題意,對(duì)任意恒成立,
所以,即,故.
若,據(jù),可得
當(dāng),時(shí),
.
由及可得.
所以,當(dāng),時(shí),,即.
故當(dāng),時(shí),,故不合題意.
若,據(jù),可得,即.
所以,當(dāng),時(shí),,
當(dāng)時(shí),,得,所以.
當(dāng),時(shí),
,
所以,
故.
故當(dāng)時(shí),對(duì)任意都成立.
所以正整數(shù)k的最小值為3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù).
(1)若,求的最值;
(2)若,證明:對(duì)任意的,存在,使得.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acos2+ccos2=b.
(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;
(2)若∠B=60°,b=4,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)是的導(dǎo)函數(shù),若存在兩個(gè)極值點(diǎn),求證:
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中.直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C關(guān)于直線l對(duì)稱,求a的值;
(2)若A、B為曲線C上兩點(diǎn).且∠AOB,求|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,且.
(1)若橢圓經(jīng)過(guò)圓的圓心,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了解一種植物果實(shí)的情況,隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測(cè)量重量(單位:克),按照,,,,分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求圖中的值;
(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí),用樣本估計(jì)總體.若從這種植物果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè),其中優(yōu)質(zhì)果實(shí)的個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若直線是函數(shù)圖象的切線,求的最小值;
(3)當(dāng)時(shí),若直線是函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某人沿固定路線開車上班,沿途共有個(gè)紅綠燈,他對(duì)過(guò)去個(gè)工作日上班途中的路況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到了如表的數(shù)據(jù):
上班路上遇見的紅燈數(shù) | ||||||
天數(shù) |
若一路綠燈,則他從家到達(dá)公司只需用時(shí)分鐘,每遇一個(gè)紅燈,則會(huì)多耗時(shí)分鐘,以頻率作為概率的估計(jì)值
(1)試估計(jì)他平均每天上班需要用時(shí)多少分鐘?
(2)若想以不少于的概率在早上點(diǎn)前(含點(diǎn))到達(dá)公司,他最晚何時(shí)要離家去公司?
(3)公司規(guī)定,員工應(yīng)早上點(diǎn)(含點(diǎn))前打卡考勤,否則視為遲到,每遲到一次,會(huì)被罰款元.因某些客觀原因,在接下來(lái)的個(gè)工作日里,他每天早上只能從家出發(fā)去公司,求他因遲到而被罰款的期望.
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