【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,側(cè)面為正三角形,側(cè)面底面,的中點(diǎn).

1)求證:平面;

2)求二面角的正弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)根據(jù)題意可證明平面底面,由面面垂直的性質(zhì)可證明平面;

2)由題意可證明,則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得兩個(gè)平面形成二面角的余弦值大小,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式,即可求得求二面角的正弦值.

1)證明:∵底面是正方形,

,

∵側(cè)面底面,側(cè)面底面,

∴由面面垂直的性質(zhì)定理,平面.

2)設(shè),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,

,.由面面垂直的性質(zhì)定理知平面,

平面,.

為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵側(cè)面為正三角形,

,

,,,,

的中點(diǎn),

,

,,

設(shè)平面的法向量,

,,,

所以可取,

平面的法向量可取,

于是,

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得

所以,二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將所有的正奇數(shù)按以下規(guī)律分組,第一組:1;第二組:35,7;第三組:9,1113,15,17 表示n是第i組的第j個(gè)數(shù),例如,,則

A.B.C.D.

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【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面底面,且,分別為棱,的中點(diǎn).

1)求證:;

2)求異面直線所成角的余弦值;

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分組

頻數(shù)

頻率

0.050

0.200

36

0.300

0.275

12

0.050

合計(jì)

1)根據(jù)上面的頻率分布表,推出①②③④處的數(shù)字分別為 , , .

2)補(bǔ)全上的頻率分布直方圖.

3)根據(jù)題中的信息估計(jì)總體:

①成績(jī)?cè)?/span>120分及以上的學(xué)生人數(shù);

②成績(jī)?cè)?/span>的頻率.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線 .

(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系;

(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,等腰直角是直角,平面平面,,,.

(1)求證

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某中學(xué)為提升學(xué)生的英語學(xué)習(xí)能力,進(jìn)行了主題分別為“聽”、“說”、“讀”、“寫”四場(chǎng)競(jìng)賽.規(guī)定:每場(chǎng)競(jìng)賽的前三名得分分別為,,,且,),選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每場(chǎng)競(jìng)賽的前三名,在四場(chǎng)競(jìng)賽中,已知甲最終分為分,乙最終得分為分,丙最終得分為分,且乙在“聽”這場(chǎng)競(jìng)賽中獲得了第一名,則“聽”這場(chǎng)競(jìng)賽的第三名是(

A. B. C. D. 甲和丙都有可能

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【題目】已知在四邊形中,,,.

1)求的長(zhǎng)及四邊形的面積;

2)點(diǎn)為四邊形所在平面上一點(diǎn),若,求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的位置.

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①f(x)的值域?yàn)閇0,2];

②f(x)<f(4)<f(2018);

③f(x)是周期函數(shù)且周期為6;

④滾動(dòng)后,當(dāng)頂點(diǎn)A第一次落在x軸上時(shí),f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為

其中正確命題的序號(hào)是_____

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