Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn).

（1）證明：D1E⊥CE；

（2）求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；

（3）求A點(diǎn)到平面CD1E的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明CE⊥面D1DE即可證明：D1E⊥CE；
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值；
（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式，即可求A點(diǎn)到平面CD1E的距離.

（1）證明：DD1⊥面ABCD，CE面ABCD；

所以DD1⊥CE，

Rt△DAE中，AD＝1，AE＝1，

DE，

同理：CE，又CD＝2，CD2＝CE2+DE2，

DE⊥CE，

DE∩CE＝E，

所以，CE⊥面D1DE，

又D1E面D1EC，

所以，D1E⊥CE；

（2）設(shè)平面CD1E的法向量為（x，y，z），

由（1）得（1，1，﹣1），（1，﹣1，0）

x+y﹣1＝0，x﹣y＝0

解得：x＝y，即（，，1）；

又平面CDE的法向量為（0，0，1），

∴cos，span>，

所以，二面角D1﹣EC﹣D的余弦值為；

（3）由（1）（2）知（0，1，0），平面CD1E的法向量為（，，1）；

故A點(diǎn)到平面CD1E的距離為d.