Question

【題目】選修4-4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為 (t為參數(shù))．

(1)求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線N與曲線M有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－1， ，x＋y＝t.（2）－≤t≤

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角同角關(guān)系消參數(shù)得曲線M的普通方程，注意參數(shù)取值范圍，根據(jù)將曲線N的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）直接聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用判別式以及數(shù)形結(jié)合確定t的取值范圍．

試題解析：(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α，

所以曲線M可化為y＝x2－1，x∈[, ]，

由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，

所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲線N可化為x＋y＝t.

(2)若曲線M，N有公共點(diǎn)，則當(dāng)直線N過(guò)點(diǎn),時(shí)滿(mǎn)足要求，此時(shí)t＝，并且向左下方平行移動(dòng)直到相切之前總有公共點(diǎn)，相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立，得x2＋x－1－t＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.

綜上可求得t的取值范圍是－≤t≤.