【題目】如圖在直三棱柱ABC A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,設(shè)AB1的中點為D,B1C∩BC1=E.
(1)求證:DE∥平面AA1C1C;
(2) 求證:BC1⊥AB1;
(3)設(shè)AC=BC=CC1 =1,求銳二面角A- B1C- A1的余弦值。
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)由DE是△B1AC中位,線易知DE∥AC,從而DE∥平面AA1C1C;(2)先證AC⊥平面BCC1B1,得BC1⊥AC,又因為BC1⊥B1C,所以BC1⊥平面B1AC,所以BC1⊥AB1;(3)先求出點A1到平面B1AC的距離,再求出點A1到交線B1C的距離,,轉(zhuǎn)化為余弦值即可.
證明:(1)由題意知,E為B1C的中點,
又D為AB1的中點,因此DE∥AC.
又因為DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因為三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
因為AC平面ABC,所以AC⊥CC1.
又因為AC⊥BC,CC1平面BCC1B1,
BC平面BCC1B1,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因為BC1平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.
因為BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.
因為AC,B1C平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.
又因為AB1平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
(3)因為A1C1∥AC,AC平面B1AC,A1C1平面B1AC
所以A1C1∥平面B1AC
所以點A1到平面B1AC與點C1到平面B1AC的距離相等,且
又因為在△A1B1C中,A1B1=A1C=B1C=,
所以點A1到直線B1C的距離
所以銳二面角A- B1C- A1的正弦值
所以銳二面角A- B1C- A1的正弦值
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【題目】已知函數(shù),直線是圖象的一條對稱軸.
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知函數(shù)的圖象是由圖象上的各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍,然后再向左平移個單位長度得到,若,,求的值.
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【題目】在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(Ⅰ)求證:AB∥平面DEG;
(Ⅱ)求二面角C-DF-E的余弦值.
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【題目】已知是公差不為零的等差數(shù)列,滿足,且、、成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)設(shè)等差數(shù)列 的公差為,由a3=7,且、、成等比數(shù)列.可得,解之得即可得出數(shù)列的通項公式;
2)由(1)得,則,由裂項相消法可求數(shù)列的前項和.
試題解析:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,且由題意得,
即 ,解得,
所以數(shù)列的通項公式.
(2)由(1)得
,
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】四棱錐的底面為直角梯形,,,,為正三角形.
(1)點為棱上一點,若平面,,求實數(shù)的值;
(2)求點B到平面SAD的距離.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的取值集合.
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【題目】上饒某購物中心在開業(yè)之后,為了解消費者購物金額的分布,在當(dāng)月的電腦消費小票中隨機抽取張進(jìn)行統(tǒng)計,將結(jié)果分成5組,分別是,制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設(shè)消費金額均在元的區(qū)間內(nèi)).
(1)若在消費金額為元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票,再從中任選2張,求這2張小票均來自元區(qū)間的概率;
(2)為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動,策劃人員設(shè)計了兩種不同的促銷方案:
方案一:全場商品打8.5折;
方案二:全場購物滿200元減20元,滿400元減50元,滿600元減80元,滿800元減120元,以上減免只取最高優(yōu)惠,不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析哪種方案優(yōu)惠力度更大,并說明理由(直方圖中每個小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|(x﹣a),a為實數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,2]為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a(a<0),使得f(x)在閉區(qū)間上的最大值為2,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需要,兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元,則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為( 。
甲 | 乙 | 原料限額 | |
(噸) | 3 | 2 | 10 |
(噸) | 1 | 2 | 6 |
A. 10萬元B. 12萬元C. 13萬元D. 14萬元
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