【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸軸分別交于兩點.
①設直線斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;
②求面積的最大值.
【答案】(1).
(2) ①證明見解析,;②.
【解析】試題分析:(1)首先由題意得到,即.
將代入可得,
由,可得.得解.
(2)(ⅰ)注意從確定的表達式入手,探求使成立的.
設,則,
得到,
根據(jù)直線BD的方程為,
令,得,即.得到.
由,作出結論.
(ⅱ)直線BD的方程,
從確定的面積表達式入手,應用基本不等式得解.
試題解析:(1)由題意知,可得.
橢圓C的方程可化簡為.
將代入可得,
因此,可得.
因此,
所以橢圓C的方程為.
(2)(ⅰ)設,則,
因為直線AB的斜率,
又,所以直線AD的斜率,
設直線AD的方程為,
由題意知,
由,可得.
所以,
因此,
由題意知,
所以,
所以直線BD的方程為,
令,得,即.
可得.
所以,即.
因此存在常數(shù)使得結論成立.
(ⅱ)直線BD的方程,
令,得,即,
由(ⅰ)知,
可得的面積,
因為,當且僅當時等號成立,
此時S取得最大值,
所以的面積的最大值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】銷售甲乙兩種商品所得利潤分別是(單位:萬元)和(單位:萬元),它們與投入資金(單位:萬元)的關系有經驗公式,.今將10萬元資金投入經營甲乙兩種商品,其中對甲種商品投資(單位:萬元).
(1)試建立總利潤(單位:萬元)關于的函數(shù)關系式,并寫出定義域;
(2)如何投資經營甲乙兩種商品,才能使得總利潤最大,并求出最大總利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求該函數(shù)的解析式;
(2)求該函數(shù)的單調增區(qū)間;
(3)該函數(shù)的圖象可由的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到的?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:
①若樣本數(shù)據(jù)的方差為,則數(shù)據(jù)的方差為;
②“平面向量的夾角為銳角,則”的逆命題為真命題;
③命題“,均有”的否定是“,均有”;
④是直線與直線平行的必要不充分條件.
其中正確的命題個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年為我國改革開放40周年,某事業(yè)單位共有職工600人,其年齡與人數(shù)分布表如下:
年齡段 | ||||
人數(shù)(單位:人) | 180 | 180 | 160 | 80 |
約定:此單位45歲~59歲為中年人,其余為青年人,現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾.
(1)抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人?
(2)若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關心民生大事,其余人熱衷關心民生大事.完成下列列聯(lián)表,并回答能否有的把握認為年齡層與熱衷關心民生大事有關?
熱衷關心民生大事 | 不熱衷關心民生大事 | 總計 | |
青年 | 12 | ||
中年 | 5 | ||
總計 | 30 |
(3)若從熱衷關心民生大事的青年觀眾(其中1人擅長歌舞,3人擅長樂器)中,隨機抽取2人上表演節(jié)目,則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少?
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知首項均為的數(shù)列,,滿足.
(1)令,求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,設,求數(shù)列的前項和.
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