【題目】已知函數(shù) .任取t∈R,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對(duì)稱軸方程;
(2)當(dāng)t∈[﹣2,0]時(shí),求函數(shù)g(t)的解析式;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=2|xk|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中實(shí)數(shù)k為參數(shù),且滿足關(guān)于t的不等式 有解,若對(duì)任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù) ,

則f(x)的最小正周期為 ;

,解得f(x)的對(duì)稱軸方程為x=2k+1(x∈Z)


(2)解:①當(dāng) 時(shí),在區(qū)間[t,t+1]上, ,

m(t)=f(﹣1)=﹣1,

②當(dāng) 時(shí),在區(qū)間[t,t+1]上, ,

m(t)=f(﹣1)=﹣1,

;

③當(dāng)t∈[﹣1,0]時(shí),在區(qū)間[t,t+1]上,

,

∴當(dāng)t∈[﹣2,0]時(shí),函數(shù)


(3)解:∵ 的最小正周期T=4,

∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t),

∴g(t+4)=M(t+4)﹣m(t+4)=M(t)﹣m(t)=g(t);

∴g(t)是周期為4的函數(shù),研究函數(shù)g(t)的性質(zhì),只須研究函數(shù)g(t)在t∈[﹣2,2]時(shí)的性質(zhì)即可;

仿照(2),可得 ;

畫出函數(shù)g(t)的部分圖象,如圖所示,

∴函數(shù)g(t)的值域?yàn)? ;

已知 有解,即 k≤4g(t)max=4

∴k≤4;

若對(duì)任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,

即H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集.

,

當(dāng)k≤4時(shí),∵h(yuǎn)(x)在(﹣∞,k)上單調(diào)遞減,在[k,4]上單調(diào)遞增,

∴h(x)min=h(k)=1,

∵H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上單調(diào)遞增,

∴H(x)min=H(4)=8﹣2k,

∴8﹣2k≥1,即 ;

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是


【解析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)f(x)的解析式求出它的最小正周期和對(duì)稱軸方程;(2)分類討論 和t∈[﹣1,0]時(shí),求出對(duì)應(yīng)函數(shù)g(t)的解析式;(3)根據(jù)f(x)的最小正周期T,得出g(t)是周期函數(shù),研究函數(shù)g(t)在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì),求出g(t)的解析式;畫出g(t)的部分圖象,求出值域,利用不等式 求出k的取值范圍,再把“對(duì)任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立”轉(zhuǎn)化為“H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集“,從而求出k的取值范圍.

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C.
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B.
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