【題目】已知a，b∈R+ ， m，n∈N* ． （Ⅰ）求證：（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）；
（Ⅱ）求證： ≤ ．

【答案】證明：（Ⅰ）2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm）=am+n+bm+n﹣anbm﹣anbm=am（an﹣bn）+bm（bn﹣an）=（am﹣bm）（an﹣bn）；
①若a≥b＞0則，am≥bm＞0，an≥bn＞0，可得（am﹣bm）（an﹣bn）≥0；
②若0＜a＜b，則0＜am＜bm ， 0＜an＜bn ， 可得（am﹣bm）（an﹣bn）＞0；
綜上所述總有（am﹣bm）（an﹣bn）≥0
故（an+bn）（am+bm）≤2（am+n+bm+n）．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得（a+b）（a2+b2）≤2（a3+b3），
即有（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≤2（a3+b3）（a3+b3）≤4（a6+b6）
則有 ≤
【解析】（Ⅰ）作差可得2（am+n+bm+n）﹣（an+bn）（am+bm），展開運(yùn)用因式分解，推理a，b的大小，即可得證；（Ⅱ）分別令n=1，m=2，以及m=n=3，運(yùn)用（Ⅰ）的結(jié)論，即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解不等式的證明的相關(guān)知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知F1 ， F2分別是雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰好在以F2為圓心，|OF2|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）在其定義區(qū)間[a，b]上滿足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③對任意的x1 ， x2∈[a，b]，式子 ≤ 恒成立．記S1= f（x）dx，S2= （b﹣a），S3=f（b）（b﹣a），則S1 ， S2 ， S3的大小關(guān)系為 ． （按由小到大的順序）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的值域；

（3）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）若，且對任意的， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）﹣m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱軸方程；
（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中實(shí)數(shù)k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式 有解，若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+1.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為4x﹣y+b=0，求實(shí)數(shù)a和b的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=Acos（ + ），x∈R，且f（ ）= ．
（1）求A的值；
（2）設(shè)α，β∈[0， ]，f（4α+ π）=﹣ ，f（4β﹣ π）= ，求cos（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中共有8個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球、3個(gè)黑球．若從袋中任取3個(gè)球，則所取3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.

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