Question

【題目】已知⊙M：（x+1）2+y2= 的圓心為M，⊙N：（x﹣1）2+y2= 的圓心為N，一動圓M內切，與圓N外切． （Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）設A，B分別為曲線P與x軸的左右兩個交點，過點（1，0）的直線l與曲線P交于C，D兩點．若 =12，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則 ， 兩式相加，得|PM|+|PN|=4＞|MN|，
由橢圓定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點，焦距為2，實軸長為4的橢圓，
∴動圓圓心P的軌跡方程
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，
則 ，
則 ．
當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），
設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），A（﹣2，0），B（2，0），
聯立 ，消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．
則有 ，

=
= =
由已知，得 ，解得 ．
故直線l的方程為 ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點，焦距為2，實軸長為4的橢圓，由此能求出動圓圓心P的軌跡方程．（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1， ．當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），聯立 ，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出直線l的方程．