Question

（1）設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3）其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用f（n）表示這n條直線交點的個數(shù)，則f（4）=

5

，當n＞4時，f（n）=

(n-2)(n+1)

2

（用n表示）．
（2）如圖：若射線OM，ON上分別存在點M₁，M₂與點N₁，N₂，則三角形面積之比

S△OM1N1

S△OM2 N2

=

OM1

OM2

=

ON1

ON2

，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點P₁P₂，點Q₁Q₂和點R₁R₂，則

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．

Answer 1

分析：（1）要想求出f（4）的值，我們畫圖分析即可得到答案，但要求出n＞4時f（n）的值，我們要逐一給出f（3），f（4），…，f（n-1），f（n）然后分析項與項之間的關(guān)系，然后利用數(shù)列求和的辦法進行求解．
（2）由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．

解答：解：（1）如圖，4條直線有5個交點，
故f（4）=5，
由f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n-1）=f（n-2）+n-2
f（n）=f（n-1）+n-1
累加可得f（n）=2+3+…+（n-2）+（n-1）
=

(n-2)(n-1+2)

2

=

(n-2)(n+1)

2

（2）如圖，過R₂作R₂M₂⊥平面P₂OQ₂于M₂，連OM₂．過R₁在平面OR₂M₂作R₁M₁∥R₂M₂交OM₂于M₁，
則R₁M₁⊥平面P₂OQ₂．
由 VO-P1Q1R1=

1

3

S△P1OQ1•R₁M₁=

1

3

•

1

2

OP₁•OQ₁•sin∠P₁OQ₁•R₁M₁
=

1

6

OP₁•OQ₁•R₁M₁•sin∠P₁OQ₁，
同理，VO-P2Q2R2=

1

6

OP₂•OQ₂•R₂M₂•sin∠P₂OQ₂．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•R1M1

OP2•OQ2•R2M2

．
由平面幾何知識可得

R1M1

R2M2

=

OR1

OR2

．
∴

VO-P1Q1R1

VO-P2Q2R2

=

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．
故答案為（1）5，

(n-2)(n+1)

2

（2）

OP1•OQ1•OR1

OP2•OQ2•OR2

．

點評：本題考查的知識點是推理，其中（1）是歸納推理，根據(jù)f（3），f（4），…，f（n-1），f（n）然后分析項與項之間的關(guān)系，找出項與項之間的變化趨勢是解決問題的關(guān)鍵；（2）是類比推理，一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．