Question

設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n≥3，n∈N^*），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f（n）表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f（4）=

5

；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）=

(n-2)(n+1)

2

．（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，作出圖形，再加以觀察可得4條直線有5個(gè)交點(diǎn)，所以f（4）=5；
（2）有n-1條直線時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（n-1），再作第n條直線，由于第n條直線與原來(lái)的n-1條直線都不平行，所以第n條直線與這n-1條直線各有一個(gè)交點(diǎn)，得出n條直線時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（n）=f（n-1）+n-1，以此為公式進(jìn)行累加，再用等差數(shù)列求和公式，可得f（n）的表達(dá)式．

解答：解：如圖，4條直線有5個(gè)交點(diǎn)，所以f（4）=5，
當(dāng)圖中已有n-1條直線時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（n-1）
在畫第n條直線時(shí)，由于它要和原有的n-1條直線各有一個(gè)交點(diǎn)
所以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加了n-1
得到規(guī)律：f（n）=f（n-1）+n-1    （n≥3）
接下來(lái)用此公式求解：
f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n-1）=f（n-2）+n-2
f（n）=f（n-1）+n-1
累加可得：f（n）=2+3+…+（n-2）+（n-1）
利用等差數(shù)列求和公式可得：f（n）=

(n-2)(n-1+2)

2

=

(n-2)(n+1)

2

故答案為5，

(n-2)(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)數(shù)列模型為載體，考查了歸納推理的方法，屬于中檔題．歸納推理與類比推理都屬于合情推理，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的常用推理過(guò)程．