Question

已知點(diǎn)A（-2，0）在橢圓上，設(shè)橢圓E與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，其左焦點(diǎn)為F，且∠AFB=150°．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過x軸上一點(diǎn)M（m，0）（m≠-2）作一條不垂直于y軸的直線l交橢圓E于C、D點(diǎn)．
（i）若以CD為直徑的圓恒過A點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
（ii）若△ACD的重心恒在y軸的左側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵∠AFB=150°
∴∠OFB=30°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）在直角△BOF中，|FB|=2|OB|
∵a=2b ∵點(diǎn)A（﹣2，0）在橢圓上
∴a=2  ∴b=1  ∴橢圓；
（2）∵直線l過x軸上一點(diǎn)M（m，0）（m≠﹣2）不垂直于y軸
∴l(xiāng)：x=ty+m與橢圓方程聯(lián)立
消元整理可得（t²+4）y²+2mty+m²﹣4=0
∴△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0
∴t²＞m²﹣4設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴，
（i）若以CD為直徑的圓恒過A點(diǎn)，則∵=（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂）
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=
∴或m=﹣2（舍去）
∴實(shí)數(shù)m的值為；
（ii）若△ACD的重心恒在y軸的左側(cè)，即重心的橫坐標(biāo)恒小于0，即，∴
∴4m＜t2+4對所有符合條件的t恒成立
由t²＞m²﹣4知：
①若m²﹣4＜0，即﹣2＜m＜2時，t²∈[0，+∞）
∴t₂+4≥4   ∴m＜1   ∴﹣2＜m＜1；
②若m²﹣4≥0，即m≤﹣2或m≥2時，t²∈（m²﹣4，+∞），∴4m＜m²，∴m≤0或m≥4
綜上知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪[4，+∞）