(2012•朝陽區(qū)二模)在平面直角坐標系x0y中,已知點A(-
2
,0),B(
2
,0
),E為動點,且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2

(Ⅰ)求動點E的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點F(1,0)的直線l與曲線C相交于不同的兩點M,N.若點P在y軸上,且|PM|=|PN|,求點P的縱坐標的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)動點E的坐標為(x,y),由點A(-
2
,0),B(
2
,0
),E為動點,且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2
,知
y
x+
2
y
x-
2
=-
1
2
,由此能求出動點E的軌跡C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),將y=k(x-1)代入
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由題設(shè)條件能推導(dǎo)出直線MN的垂直平分線的方程為y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2-1
)
,由此能求出點P縱坐標的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)動點E的坐標為(x,y),
∵點A(-
2
,0),B(
2
,0
),E為動點,且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2
,
y
x+
2
y
x-
2
=-
1
2
,
整理,得
x2
2
+y2=1
,x≠±
2
,
∴動點E的軌跡C的方程為
x2
2
+y2=1
,x≠±
2

(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,滿足條件的點P的縱坐標為0,
當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
將y=k(x-1)代入
x2
2
+y2=1
,并整理,得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
△=8k2+8>0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1
,
設(shè)MN的中點為Q,則xQ=
2k2
2k2+1
,yQ=k(xQ-1)=-
k
2k2+1
,
∴Q(
2k2
2k2+1
,-
k
2k2+1
),
由題意知k≠0,
又直線MN的垂直平分線的方程為y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2-1
)
,
令x=0,得yP=
k
2k2+1
=
1
2k+
1
k
,
當k>0時,∵2k+
1
k
≥2
2
,∴0<yP
1
2
2
=
2
4
;
當k<0時,因為2k+
1
k
≤-2
2
,所以0>yP≥-
1
2
2
=-
2
4

綜上所述,點P縱坐標的取值范圍是[-
2
4
2
4
].
點評:本題考查動點的軌跡方程的求法,考查點的縱坐標的取值范圍的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意直線與橢圓位置的綜合運用.
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3
sinxcosx-cos2x+m(m∈R)
的圖象過點M(
π
12
,0).
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2
a
2
 
x
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1
2
1
2

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的圖象與直線y=x恰有三個公共點,則實數(shù)m的取值范圍是( 。

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