Question

（2012•朝陽(yáng)區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)．
（1）已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）在（1）的條件下，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)，知f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，再由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，知f′（1）=a-2a²=2-3a，由此能求出a．
（2）由f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，利用a的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，能夠得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+

2

x

，設(shè)g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+

2

x

+x-3，g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

，x＞0．列表討論，能夠證明對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

解答：解：（1）∵f(x)=alnx+

2 a 2

x

(a≠0)，
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，
∴f′（1）=a-2a²=2-3a，
解得a=1．
（2）f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，
①當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜2a，則a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減；
若x＞2a，則a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2a）上單調(diào)遞減，在（2a，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+

2

x

，
設(shè)g（x）=f（x）-（3-x），則g（x）=lnx+

2

x

+x-3，
∴g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

，x＞0
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↓	極小值	↑

∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，
從而也是g（x）的最小值點(diǎn)，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（x）≥3-x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類(lèi)討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．