Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）試討論函數(shù)的導函數(shù)的極值；

（Ⅱ）若（為自然對數(shù)的底數(shù)），恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由導數(shù)的求導法則得出，利用導數(shù)求極值的步驟得出極值。

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)令，求導得到，利用導數(shù)求最值的方法對的值進行分類討論，即可得出實數(shù)的取值范圍。

（Ⅰ）的定義域為.，

當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值.

當時，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

函數(shù)的極小值為，沒有極大值.

（Ⅱ）對，恒成立，即對，，

對，.

令，則 .

①當，即時，對，，在上單調(diào)遞增， ，解得，滿足題意.

當時，即，對，，在上單調(diào)遞減，

，解得滿足題意.

③當，即時，對于，；對于，.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

.

即

設，由于在單調(diào)遞減，

，即，

滿足題意.

綜上①②③可得，.