【題目】設(shè)橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)D在橢圓C上， 的周長為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過圓上任意一點(diǎn)P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1) 由，周長,解得,即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)通過特殊情況的斜率不存在時(shí),求得,再證明的斜率存在時(shí),即可證得為定值.通過設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關(guān)系代入,化簡即可證得即可證得結(jié)論.

（1）由題意得，周長，且.

聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為，

則，

所以，即.

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，并設(shè)，

由，

，，

由直線l與圓E相切，得.

所以

.

從而，即.

綜合上述，得為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”為 ，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對一切的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.

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年齡（單位：歲）

保費(fèi)（單位：元）

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（2）現(xiàn)分別在年齡段、、、、中各選出人共人進(jìn)行回訪.若從這人中隨機(jī)選出人，求這人所交保費(fèi)之和大于元的概率.

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（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；

（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若對任意，均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（e為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

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【題目】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓： 交于兩點(diǎn).

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（2）軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有直線的斜率之和為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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