【題目】已知函數(shù),函數(shù)在點處的切線斜率為0.

1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;

2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點,如果在函數(shù)圖象上存在點,使得在點處的切線,則稱存在跟隨切線”.特別地,當(dāng)時,又稱存在中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點使得它存在中值跟隨切線,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】1,單調(diào)性見解析;(2)不存在,理由見解析

【解析】

1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;

2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),,由題意得可得,令),構(gòu)造函數(shù)),求導(dǎo)后證明即可得解.

1)由題可得函數(shù)的定義域為,

,整理得.

.

(ⅰ)當(dāng)時,易知,.

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(ⅱ)當(dāng)時,令,解得,則

①當(dāng),即時,上恒成立,則上遞增.

②當(dāng),即時,當(dāng)時,;

當(dāng)時,.

所以上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.

③當(dāng),即時,當(dāng)時,;當(dāng)時,.

所以上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

當(dāng)時,上單調(diào)遞增;上單調(diào)遞減.

當(dāng)時,上遞增.

當(dāng)時,上單調(diào)遞增;上遞減.

2)滿足條件的、不存在,理由如下:

假設(shè)滿足條件的存在,不妨設(shè),,

,

由題可知,整理可得:,

),構(gòu)造函數(shù).

所以上單調(diào)遞增,從而,

所以方程無解,即無解.

綜上,滿足條件的A、B不存在.

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